Identidades reciprocas:
Existen 3 funciones trigonometricas fundamentales, Sen, Cos, Tan las reciprocas son Csc, Sec, Cot:
se les dice asi por que:
lunes, 6 de mayo de 2013
Identidades trigonometricas
Identidades trigonometricas
Identidades reciprocas:
Existen 3 funciones trigonometricas fundamentales, Sen, Cos, Tan las reciprocas son Csc, Sec, Cot:
se les dice asi por que:
Identidades reciprocas:
Existen 3 funciones trigonometricas fundamentales, Sen, Cos, Tan las reciprocas son Csc, Sec, Cot:
se les dice asi por que:
Funciones con razones trigonometricas
Funciones con razones trigonometricas
A partir dela siguiente expresion puede obtener el resultado alicando el valor de cada funcion
4Sen 3O° + 2Cos 6O° - 5Sen 45° + 3Tan 6O°=
4(O.5)+2(O.5)-5 (O.7O7)+ 3 (1.75)=
=4.6
tambien se puede resolver teniendo x.
A partir dela siguiente expresion puede obtener el resultado alicando el valor de cada funcion
4Sen 3O° + 2Cos 6O° - 5Sen 45° + 3Tan 6O°=
4(O.5)+2(O.5)-5 (O.7O7)+ 3 (1.75)=
=4.6
tambien se puede resolver teniendo x.
Funciones trigonometricas (continuacion)
Funciones trigonometricas
A partir de 2 datos podemos obtener todas las funciones trigonometricas correspondientes al triangulo rectangulo.
Obtener los elementos del triangulo si conocemos el valor de solo 2 de sus lados:
A partir de 2 datos podemos obtener todas las funciones trigonometricas correspondientes al triangulo rectangulo.
Obtener los elementos del triangulo si conocemos el valor de solo 2 de sus lados:
De radianes a grados
Un radian es la medida del angulo creado cuando envuelves el radio de un circulo alrededor de la circunferencia
1. Ecuacion para convertir radianes a grados Rx(180/PI)= G
(R es radianes y G es grados)
2. Poner la medida de tu angulo en radianes en la ecuacion anterior en el lugar de la R
3. Despues agrega las unidades a la respuesta final.
Es muy importante que pongas las respuestas en las unidades posibles, la respuesta fnal es que un angulo mide 2 radianes mediran 114.592°
Para convertir de grados a radianes:
1. Ecuacion para convertir radianes a grados Rx(180/PI)= G
(R es radianes y G es grados)
2. Poner la medida de tu angulo en radianes en la ecuacion anterior en el lugar de la R
3. Despues agrega las unidades a la respuesta final.
Es muy importante que pongas las respuestas en las unidades posibles, la respuesta fnal es que un angulo mide 2 radianes mediran 114.592°
Para convertir de grados a radianes:
PI(numero de grados)/180
Para convertir de radianes a grados:
180°(numero de radianes)/PI
Funciones trigonometricas
Las funciones trigonometricas de un triangulo rectangulo se obtienen a partir de un angulo dado y son las sigueintes:
Volumen
VOLÚMENES
Cubo: 1 a la tercera potencia (el volumen de un cubo se obtiene elevando al cubo la longitud de su arista
Prisma: ab x h (el volumen de un prisma se obtiene multiplicando la superficie de su base y después por altura del prisma)
Pirámide: (AB) x h / 3 ( el volumen de una pirámide es equivalente a un tercio del volumen de un prisma de igual base y altura)
Cilindro: (PIxr*) x h. (Se obtiene multiplicando la superficie de la base por altura del cilindro
Cono: (PIxr*)h / 3. (El volumen de un cono es equivalente a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura.
Esfera: 3/4 x PI x r*
El volumen de una esfera es igual a 3/4 de PI por el radio al cubo.
EJERCICIOS:
Una pecera mide 1.5m de largo, 1m de ancho y O.8Om de altura. Si a una jarra le caben O.OO2 m3 de agua ¿Se puede llenar la pecera con 2O jarras de agua?
Solución:
Primero se debe sacar el volumen de la pecera (1.5x1xO.8O= 1.2)
Se hace una regla de tres
si a una jarra le caben O.OO2 a 2O jarras cuanto le caben = O.4 m3
Respuesta: con 2O jarras no se podria llenar la pecera por que tiene O.4 y la pecera necesita 1.2.
Una piramide de Egipto mide 230m de lado y 153 m de alto ¿que volumen tiene si su base es cuadrada?
Solucion: Si su base es cuadrada se aplica primero la formula para sacar el area de la base
23Ox23O=52900 despues se multiplica por la altura que es por 153 da un total de 8O937OO luego se divide entre tres ya que es una piramide y el resultado es de °°° 2697900m al cubo
Cubo: 1 a la tercera potencia (el volumen de un cubo se obtiene elevando al cubo la longitud de su arista
Prisma: ab x h (el volumen de un prisma se obtiene multiplicando la superficie de su base y después por altura del prisma)
Pirámide: (AB) x h / 3 ( el volumen de una pirámide es equivalente a un tercio del volumen de un prisma de igual base y altura)
Cilindro: (PIxr*) x h. (Se obtiene multiplicando la superficie de la base por altura del cilindro
Cono: (PIxr*)h / 3. (El volumen de un cono es equivalente a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura.
Esfera: 3/4 x PI x r*
El volumen de una esfera es igual a 3/4 de PI por el radio al cubo.
EJERCICIOS:
Una pecera mide 1.5m de largo, 1m de ancho y O.8Om de altura. Si a una jarra le caben O.OO2 m3 de agua ¿Se puede llenar la pecera con 2O jarras de agua?
Solución:
Primero se debe sacar el volumen de la pecera (1.5x1xO.8O= 1.2)
Se hace una regla de tres
si a una jarra le caben O.OO2 a 2O jarras cuanto le caben = O.4 m3
Respuesta: con 2O jarras no se podria llenar la pecera por que tiene O.4 y la pecera necesita 1.2.
Una piramide de Egipto mide 230m de lado y 153 m de alto ¿que volumen tiene si su base es cuadrada?
Solucion: Si su base es cuadrada se aplica primero la formula para sacar el area de la base
23Ox23O=52900 despues se multiplica por la altura que es por 153 da un total de 8O937OO luego se divide entre tres ya que es una piramide y el resultado es de °°° 2697900m al cubo
Área
ÁREA
El área de una figura es la medida de la superficie y medir una superficie es determinar cuantas veces contiene a otra superficie coincida.
El área de un polígono regular es igual al perímetro por apotema sobre dos.
Para los polígonos irregulares debemos dividir entre triángulos y rectángulos y sumar cada área.
Ejercicios:
La glorieta del ángel mide 18m de radio, se circula con una malla de alambre ¿cuantos metros se utilizarán?*solucion: se debe de aplicar la fórmula para sacar el perímetro del círculo la cual es:
P= PI X diámetro
P= 3.1416x36
P=113.097m
Un espejo mide 1.25m de diámetro ¿qué área tiene?
Para sacar el área de un círculo se debe aplicar la fórmula de A= PIxr* (lo usamos como al cuadrado)
Se sustituye la fórmula:
A=3.1416x0.625*
A=3.1416x0.390
A=1.22m*
Perímetro
Áreas, volúmenes y perímetro
Perímetro de un polígono regular:
Un polígono es una figura delimitada por lados, cuando esos lados son iguales y todos los ángulos internos también miden lo mismo entonces el polígono se llama REGULAR
El perímetro de un polígono es la suma de longitud de cada lado, si el polígono es regular, entonces el perímetro es igual al número de lados por la longitud de uno de ellos.
P= (# lados) (longitud)
Ejercicios:
Calcula el perímetro de un terreno cuadrado si cada lado mide 5 m.
Solución:
Se suman los lados del terreno cuadrado (siempre hay que fijarse que forma nos piden) así como aplicando la fórmula
P= 4lados por 5 = 20m
Cual es el perímetro de un terreno pentágonal si sus lados miden 13m
P= (5 lados)(13)= 65m
Calcula el perímetro de un decágono si sus lados miden 25 m
P= (10 lados) (25)= 250m
Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 99m ¿cuanto mide cada lado?
Solución:
Se debe de divir los 99 m entre tres para sacar el de cada lado = 33m
Determina el perímetro de un octágono de 39 cm por lado
P= (8 lados)(39)= 312cm
Perímetro de un polígono regular:
Un polígono es una figura delimitada por lados, cuando esos lados son iguales y todos los ángulos internos también miden lo mismo entonces el polígono se llama REGULAR
El perímetro de un polígono es la suma de longitud de cada lado, si el polígono es regular, entonces el perímetro es igual al número de lados por la longitud de uno de ellos.
P= (# lados) (longitud)
Ejercicios:
Calcula el perímetro de un terreno cuadrado si cada lado mide 5 m.
Solución:
Se suman los lados del terreno cuadrado (siempre hay que fijarse que forma nos piden) así como aplicando la fórmula
P= 4lados por 5 = 20m
Cual es el perímetro de un terreno pentágonal si sus lados miden 13m
P= (5 lados)(13)= 65m
Calcula el perímetro de un decágono si sus lados miden 25 m
P= (10 lados) (25)= 250m
Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 99m ¿cuanto mide cada lado?
Solución:
Se debe de divir los 99 m entre tres para sacar el de cada lado = 33m
Determina el perímetro de un octágono de 39 cm por lado
P= (8 lados)(39)= 312cm
Teorema de PITAGORAS
TEOREMA DE PITAGORAS
La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
Este teorema se utiliza en los triángulos rectángulos
Para verificar que un triángulo es rectángulo podemos aplicar también el teorema de PITAGORAS ejercicios:
Indica sí los siguientes triángulos son rectángulos:
A) 4, 7.5 y 8.5
Solucion: 7.5"+4"= 8.5"
56.25+16= 72.25 °°° Si es un triángulo rectángulo °°°
72.25= 72.25
* siempre la cantidad más grande será la HIPOTENUSA
B) 61, 60 y 13
Solución: 60"+13"=61"
3600+169=3721
3769 /=/ 3721 °°° No es un triángulo rectángulo °°°
Cualquier triángulo se puede convertir en triángulo rectángulo para obtener sus medidas por ejemplo:
-En un triángulo isósceles se desea conocer la altura y conocemos que la base es de 16 y los lados iguales a 10
La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
Este teorema se utiliza en los triángulos rectángulos
Para verificar que un triángulo es rectángulo podemos aplicar también el teorema de PITAGORAS ejercicios:
Indica sí los siguientes triángulos son rectángulos:
A) 4, 7.5 y 8.5
Solucion: 7.5"+4"= 8.5"
56.25+16= 72.25 °°° Si es un triángulo rectángulo °°°
72.25= 72.25
* siempre la cantidad más grande será la HIPOTENUSA
B) 61, 60 y 13
Solución: 60"+13"=61"
3600+169=3721
3769 /=/ 3721 °°° No es un triángulo rectángulo °°°
Cualquier triángulo se puede convertir en triángulo rectángulo para obtener sus medidas por ejemplo:
-En un triángulo isósceles se desea conocer la altura y conocemos que la base es de 16 y los lados iguales a 10
Ángulos internos de un polígono
Ángulos internos de un polígono
Los ángulos internos de un polígono se obtienen dividiendo ese polígono en triángulo para ver cuantos se forman internamente por ejemplo:
Teoremas
TEOREMAS
Si tenemos dos ángulos complementarios congruentes con otros dos, entonces el complemento de este tambien será congruente
Si tenemos dos ángulos suplementarios congruentes con otros dos, entonces el suplementario de este también será congruente.
Si tenemos dos ángulos complementarios congruentes con otros dos, entonces el complemento de este tambien será congruente
Si tenemos dos ángulos suplementarios congruentes con otros dos, entonces el suplementario de este también será congruente.
EJERCICIO:
Congruencia
Triángulos congruentes:
Dos triángulos son congruentes si tienen el mismo tamaño y forma de tal manera que sí los superponemos uno con otro coinciden de manera exacta.
/\ ABC~/\ DEF
Vértice < Angulo Lados
A= D. < a=d. AB=DE
B=E. < b=e. BC=EF
C=F. < c=f. AC=DF
Sabemos que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es igual a 180* y también conocemos los tres postulados de congruencia en los triángulos:
ALA, LAL, LLL
EJERCICIO:
Dos triángulos son congruentes si tienen el mismo tamaño y forma de tal manera que sí los superponemos uno con otro coinciden de manera exacta.
/\ ABC~/\ DEF
Vértice < Angulo Lados
A= D. < a=d. AB=DE
B=E. < b=e. BC=EF
C=F. < c=f. AC=DF
Sabemos que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es igual a 180* y también conocemos los tres postulados de congruencia en los triángulos:
ALA, LAL, LLL
EJERCICIO:
Polígonos
POLÍGONOS
Los polígonos son figuras formadas por más de tres lados, los cuales forman su perímetro, existen polígonos irregulares los cuales son formados por lados de diferente longitud y los polígonos regulares que son formados por lados con la misma longitud.
Mencionare la construcción de un cuadrado,un octágono, un triángulo, hexágono y dodecágono a partir de un círculo cualquiera:
Para el cuadrado:
1.- Trazar un círculo de cualquier longitud
2.- Marcar su diámetro
3.- Trazar su mediatriz
4.- Unir los puntos de su diámetro y la mediatriz.
Para el octágono:
1.- Trazar un círculo
2.- Marcar su diámetro
3.- Trazar su mediatriz
4.- Trazar su bisectriz
5.- Unir los puntos
Para el triángulo:
1.- Trazar un círculo
2.- Trazar la mediatriz
3.- Posado en A abre hasta O y trazar un medio círculo (puntos E,F)
4.- Unir los puntosB,E,F
Para el hexágono:
1.- Trazar un círculo
2.- Trazar la mediatriz
3.- Pasarse en A y en B hasta abrir a O y marcar 2 medios
círculos (puntos E,F,G y H)
círculos (puntos E,F,G y H)
4.- Unir F,H,B,G,E,A
Para el dodecágono:
1.- Trazar un círculo
2.- Trazar la mediatriz
3.- Pasarse en A, B, C, D y abrir hasta O trazar un medio círculo en cada punto
4.- Unir todos los puntos
Rectas Importantes
RECTAS IMPORTANTES
Radio: el radio de una circunferencia es el segmento que une el centro dela circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro: Es un segmento que pasa por el centro y une dos puntos opuesto por la circunferencia.
Tangente: La tangente es una recta que toca de un punto a la circunferencia.
Secante: la secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos.
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